Cho ba số thực dương $a,b,c$ và a+b+c=1 Chứng minh rằng: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \geq 64 .$

Cho ba số thực dương $a,b,c$ và a+b+c=1
Chứng minh rằng: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \geq 64 .$
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra: $abc \leq \frac{1}{27}$ và $ab+ac+bc \leq\frac{1}{3}$
Ta có: $$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})$$
$$=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{abc} $$
$$\geq 1+\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{1}{abc} \geq 64$$