Cho $a,b,c$ là ba số thực dương và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ Chứng minh rằng : $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq 3$$

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Chứng minh rằng : $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq 3 (1)$$
Lời giải:
Ta có bất đẳng thức sau:
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) \geq 9$
hay $ a+b+c \geq \frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{9}{3}=3 (2) $


 Nhân VT của (1) cho 2  ta được:
$$ \frac{2(a^2+b^2)}{a+b} + \frac{2(b^2+c^2)}{b+c} + \frac{2(c^2+a^2)}{c+a} \geq \frac{(a+b)^2}{a+b}+\frac{(b+c)^2}{b+c}+\frac{(c+a)^2}{c+a}=2(a+b+c) =6$$


Vậy $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq 3$ (đpcm)