Giải bất phương trình: $\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}} \geq 1$

Giải bất phương trình: $\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}} \geq 1$
Lời giải:
Ta có: $1-\sqrt{2(x^2-x+1)}=1-\sqrt{2\left [(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}  \right ]} \leq 1-\sqrt{\frac{3}{2}} < 0$
Nên bất phương trình tương đương với
$x - \sqrt{x} \leq 1 - \sqrt{2(x^2-x+1)} $
$\Leftrightarrow 1 - x \geq  \sqrt{2(x^2-x+1)} - \sqrt{x} $
$\Leftrightarrow (1 - x)^2 \geq 2(x^2 - x - 1) + x - 2\sqrt{2x(x^2-x+1)}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2x(x^2 - x + 1)} \geq x^2 + x + 1$
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có $VT \leq 2x + x^2 -x + 1 =x^2 + x + 1$
Dấu " = " xảy ra khi $2x = x^2 - x + 1 \leftrightarrow x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ (do $0 \leq x < 1$)