Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=1.$ Chứng minh rằng $$\dfrac{1-2bc}{a}+\dfrac{1-2ca}{b}+\dfrac{1-2ab}{c} \ge 7.$$

File lời giải 

Lời giải:
Cách 1:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương, ta được: $$2bc \le \dfrac{(b+c)^2}{2}=\dfrac{(1-a)^2}{2}$$ $$ \Rightarrow 1-2bc \ge \dfrac{1+2a-a^2}{2}$$ $$\Rightarrow \dfrac{1-2bc}{a} \ge \dfrac{1}{2a}+1+\dfrac{a}{2}.$$
Làm tương tự với 2 biểu thức $\dfrac{1-2ca}{b}$ và $\dfrac{1-2ab}{c}$ rồi cộng các biểu thức đó lại với nhau, ta được: $$\dfrac{1-2bc}{a}+\dfrac{1-2ca}{b}+\dfrac{1-2ab}{c} \ge 3-\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}$$$$=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $$ \dfrac{1}{2a}+ \dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c} \ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}=\dfrac{9}{2}$$
Cộng 2 bất đẳng thức trên lại với nhau, ta suy ra được:
$$\dfrac{1-2bc}{a}+\dfrac{1-2ca}{b}+\dfrac{1-2ab}{c} \ge \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c} \ge \dfrac{5}{2}+\dfrac{9}{2}=7.$$
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c. \blacksquare$

Cách 2:
Để ý rằng
$$\dfrac{1-2bc}{a}=\dfrac{(a+b+c)^2-2bc}{a}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac}{a}$$$$=\dfrac{b^2+c^2}{a}+a+2b+2c$$
Làm tương tự với các biểu thức $\dfrac{1-2ca}{b}$ và $\dfrac{1-2ab}{c}$ rồi cộng các bất đẳng thức đó lại với nhau, ta được:
$$\dfrac{1-2bc}{a}+\dfrac{1-2ca}{b}+\dfrac{1-2ab}{c} \ge \dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}+\dfrac{a^2+b^2}{c}+5(a+b+c)$$$$=\dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}+\dfrac{a^2+b^2}{c}+5$$
Ta cần chứng minh rằng:
$$\dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}+\dfrac{a^2+b^2}{c} \ge 2$$
Bất đẳng thức này được suy ra từ hai bất đẳng thức phụ sau:

1. $\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c} \ge 1$
2. $\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c} \ge 1$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức 1. Bất đẳng thức 2. được chứng minh tương tự như bất đẳng thức 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương, ta được:
$$\dfrac{b^2}{a}+a+\dfrac{c^2}{b}+b+\dfrac{a^2}{c}+c \ge 2\sqrt{\dfrac{b^2}{a}.a}+2\sqrt{\dfrac{c^2}{b}.b}+2\sqrt{\dfrac{a^2}{c}.c}=2(a+b+c).$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c} \ge a+b+c=1.$$
Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1. \blacksquare$